Instigar os alunos para uma postura de investigação, na resolução de problemas envolvendo medidas e estimativas; desenvolver medição para estimativa de volume em situação real.

Este objetivo é parte integrante de um processo de ensino que visa, em desenvolver, em especial, as seguintes competências, expressas no PCN+ Ensino Médio:

• selecionar e utilizar instrumentos de medição e de cálculo, representar dados e utilizar escalas, fazer estimativas, elaborar hipóteses e interpretar resultados.
• elaborar comunicações orais ou escritas para relatar, analisar e sistematizar experimentos.

Com o objetivo de contribuir com as reflexões do professor de Ensino Médio sobre uma rotina de aula em que os alunos são instigados a desenvolver uma postura de investigação, apresentamos o relato de uma seqüência de três aulas destinadas ao estudo de medidas e estimativas.

Esta proposta trouxe algumas sugestões de procedimentos que auxiliam o professor do Ensino Médio na tarefa de estabelecer na sala de aula um ambiente investigativo para resolução de problemas, e como esse ambiente favorece a aprendizagem de Matemática.

Os alunos foram organizados em quartetos e desafiados a responder a seguinte questão:

Quantos cubos de 1 cm³ cabem dentro de sua sala de aula?

Os objetivos dessa aula, inicialmente não explicitados para os alunos, direcionavam-se a:

• verificar as estratégias que os alunos utilizariam para resolver um problema que geralmente não é proposto ao aluno: um problema com falta de dados.
• perceber as diferentes estratégias que os jovens estudantes recorrem para medir, sem o uso de instrumento de medida;
• verificar o que o aluno já sabia e aplicava em termos de conhecimento sobre medidas de capacidade e volume, bem como sobre estimativa;
• reconhecer a postura dos alunos frente à resolução de um problema investigativo.

Inicialmente, a professora lançou o desafio para os alunos, sem fazer nenhuma referência sobre o conteúdo envolvido (cálculo de volume, unidades de medidas e instrumentos de medição). Explicitou que esse era um problema a ser resolvido por eles e, para tanto, teriam o tempo de aula que achassem necessário para resolução e registro, numa folha de papel, dos mecanismos que utilizaram para a resolução.

Os alunos se puseram a tentar resolver o problema. A professora, que se colocou à parte, sem oferecer qualquer contribuição, assumiu o papel de observadora, utilizando uma pauta de observação (veja o anexo I) para registrar os acontecimentos e, posteriormente, analisá-los junto aos registros dos alunos, tendo como orientação os objetivos determinamos para essa primeira aula. 

A expectativa era de que os alunos organizassem estratégias para estimar as dimensões da sala de aula, calculando seu volume para, então, com uma simples conta de divisão (volume da sala / volume do cubo), chegassem a um resultado coerente com a situação proposta. 

O resultado foi no mínimo intrigante: com raras exceções, os alunos se puseram a avaliar as medidas da sala de aula, sem sair de seus devidos lugares.  Olhavam para as paredes tentando concluir as dimensões da sala. A grande maioria deles demonstrava-se decepcionada com a tarefa a ser desenvolvida. Expressavam a necessidade de que a professora fizesse uma exposição sobre aquele tema, registrando a matéria no quadro e orientando, detalhadamente, os procedimentos que deveriam ser realizados.

Os alunos utilizaram um total de vinte minutos da aula até que todos os registros fossem entregues. O restante da aula foi utilizado para correção de tarefas.

A professora analisou os registros dos alunos, onde deveriam ser expostas as suas estratégias, os cálculos e os resultados comentados. No entanto, foi constatada apenas a presença de um valor numérico acompanhado da justificativa: valor estimado. É como os alunos compreendiam o valor por eles “chutado”.
Veja um exemplo sobre o significado de “chute” para o aluno:

Esse primeiro momento deixou claras três constatações:

• a primeira se refere à postura científica: inexistente. De fato, os alunos não organizaram, em seus grupos, um modo de trabalho investigativo; não buscaram estabelecer um método para resolução do problema;  não buscaram informação fundamentada para emitirem suas hipóteses e não estabeleceram métodos de validação dos valores que apresentaram como resposta (no caso, desenvolver medidas convencionais, ou seja, com uso de instrumentos, ou não-convencionais, medindo com o uso de outros recursos, tais como os pés, mãos, dentre outros). Além disso, não houve preocupação, ou não sabiam, em registrarem mecanismos que utilizaram para a resolução, comentários sobre as dificuldades de resolução, comentários sobre seus resultados, etc. 
• a segunda, quanto ao conceito de estimar, confundido com o “chutar”.
• a terceira diz respeito às crenças do aluno de que uma boa aula é aquela em que o professor explica a matéria, exemplifica e os alunos seguem uma ordem de resolução de atividades; esta ordem de resolução é repetida até que os alunos aprendam.  Além disso, ficou explicita a crença de que a professora não poderia deixá-los confusos, deveria dizer algo, dar uma dica, iniciar a resolução do problema para lhes mostrar o caminho, o que denota falta de autonomia do grupo e medo de enfrentar as possibilidades de errar. Esses resultados chamam a atenção para as crenças dos alunos e as interferências destas sobre o processo de ensino e aprendizagem. Vale conferir este tema no artigo Quebre cinco tabus da resolução de problemas. Revista Nova Escola Edição Nº 160 - Março de 2003.

A proposta desta aula foi:

• estabelecer um ambiente de conversa com os alunos, numa reflexão sobre o conhecimento científico, o papel do pesquisador, os procedimentos de investigação e as possíveis improvisações aceitáveis na resolução de um problema investigativo, quando não estão disponíveis os instrumentos ou dados necessários;

Em grande grupo, todos os alunos da turma, a professora estabeleceu um ambiente de conversa, expondo às suas expectativas quanto à postura dos grupos na aula anterior, o distanciamento entre os resultados por ela esperados e aqueles que foram produzidos nos registros dos grupos, etc. A partir, de tais colocações, alunos e professora desenvolveram uma troca bastante rica de informações.

A professora contou fatos históricos sobre a evolução do conhecimento científico; como os homens, no passado, realizavam as medições; a importância das medições em diferentes momentos históricos; situações cotidianas comuns no cotidiano dos alunos, em contraposição às indicações histórico-científicas, dentre outras conversas que levassem a turma a uma reflexão sobre o que é medir, o que é estimar e a importância da investigação na resolução de problemas. 

Os alunos por sua vez, contribuíram com a conversa contando fatos que conheciam e expondo seus questionamentos, dúvidas e curiosidades. Alguns deles relacionavam a conversa com a profissão dos pais, enriquecendo o ambiente de debate.

No final da aula, a professora sistematizou a conversa anotando no quadro de giz falas dos alunos que sinalizavam para posturas e habilidades que deveriam ser desenvolvidas como contribuição para com um ambiente investigativo, com intenções de aprendizagem.

Os alunos foram novamente organizados em grupos de quatro. Porém, a professora fez interferências, sugerindo alguns rearranjos, como forma de evitar participações passivas, em que um colega diz o que deve ser feito, e faz, e os demais observam, e também para evitar situações de exclusão, quando um colega não se sente integrado ao grupo. As sugestões foram acatadas e os alunos manifestavam interesse em tentar desenvolver a proposta.

Neste terceiro momento o objetivo era:

• recolocar a proposta inicial e trabalhar uma metodologia de resolução de problema, com característica investigativa. Novamente nenhum instrumento de medida foi colocado à disposição dos alunos, mas foram disponibilizadas calculadoras científicas.

A mesma pergunta foi lançada para os grupos:

Quantos cubos de 1 cm³ cabem dentro de sua sala de aula?

Os resultados foram surpreendentes. Em grupos, os alunos discutiram, conjeturaram, lançaram hipóteses, criaram estratégias, buscaram os conhecimentos que lhes faltavam (no caso, mais especificamente as transformações de unidades de medidas) em seus livros.

Vários grupos recorriam à professora, com uma expectativa diferente daquela verificada na primeira aula desta seqüência. Ou seja, a solicitação da presença da professora não era no sentido de que esta fornecesse uma fórmula mágica para que o problema fosse resolvido, mas sim, para discutir estratégias e dividir as aflições quando as escolhas (de estratégias ou resolução) geravam resultados incompatíveis com as hipóteses iniciais ou conflitos de idéias nos grupos.

A sala de aula ficou muito movimentada. Alunos subiam em carteiras, outros deitavam no chão. Esta descrição, geralmente compreendida como falta de disciplina, foi na realidade o retrato de uma aula em que os alunos desenvolviam medições experimentais, utilizando, na maioria, o corpo ou diversos objetos como instrumento de medida. 

“Medimos a sala com a medida Xibana (sobrenome de um dos colegas) que consiste na envergadura de seus dois braços estendidos...”

“Medir quantos passos a largura e o comprimento da sala tem permitiu fazer uma estimativa válida, pois com uma régua de 20 cm medimos o pé...”

“Nós usamos o tênis do Carlos, de 30 cm de comprimento, medido com régua. Para medir a altura foi mais complicado: o Luiz teve que subir no ombro do André e fizemos uma estimativa a partir da altura dos dois...”

“A parede da sala é pintada da seguinte forma <os alunos fizeram um desenho mostrando a parede pintada em duas faixas, horizontais, com cores diferentes>. Encostamos o Bruno que tem 1,67 de altura na parede e medimos a primeira cor. Depois, foi só dobrar esse valor...”

“Uma medida não pode ser feita com o instrumento errado. Prevendo que a professora podia pedir para fazer outras medidas, a Ana trouxe uma trena.”  

Tais registros, além de estabelecer, junto aos alunos, a ênfase nas estratégias mais do que nos resultados obtidos, comunicaram seus entendimentos. Por outro lado, gerou um momento de reflexão do grupo sobre o trabalho realizado, como foi possível perceber no registro de um dos grupos:

“Fizemos assim: [...]. Mas as medidas que estimamos para a sala de aula estão muito diferentes dos outros grupos. Se a professora permitir, queremos fazer novamente, usando outra estratégia”.

As avaliações que permearam as atividades tiveram várias fontes de informação: a pauta de observação, planejada pela professora (modelo utilizado no anexo I); o registro dos alunos; a auto-avaliação dos alunos (modelo utilizado no anexo II), realizada pelos grupos após a terceira aula. Vamos colocar tudo como hipertexto

Além desses processos, na prova do trimestre, foi colocada uma questão, como forma de apresentar as respostas válidas para o problema resolvido e estimular os jovens no desenvolvimento de problemas diferentes daqueles convencionalmente apresentados no livro didático, bem como para o enfrentamento de situações inesperadas e desafiadoras. Além disso, a professora pode perceber como cada aluno, distante do grupo, se organizou e desenvolveu o problema, para delegar a atenção didática formativa pertinente as suas dificuldades. A questão foi:

Você está lembrado do problema:

“Estimar o nº de cubo, com 10 cm de aresta, necessários para encher toda a sua sala de aula?”

 A grande maioria dos alunos organizou ótimas estratégias para estimar, com proximidade, as medidas da sala de aula.  Para  “matar” sua curiosidade a resposta deve estar entre 320000 e 280000 cubos. Estes são os limites, máximo e mínimo, aceitável, considerando as medidas da sala de aula (será que seu grupo acertou?).

 Agora, você vai fazer sua própria estimativa. Sem usar nenhum instrumento além daquilo que você dispõe em sua carteira. Quantas letras do tamanho dessas, com que foi digitada sua avaliação, cabem dentro da borda cinza, no diagrama da questão 1.  Acerte e GANHE 1 ponto. Vale tentar!

Não esqueça: sua resposta apenas será aceita se você apresentar a descrição da estratégia utilizada.

O diagrama a que se refere o problema era:

Os resultados foram bastante significativos, tanto na atividade do grupo, como na resolução do problema colocado na prova. A grande maioria dos alunos expressou em seus registros uma postura totalmente contrária àquela evidenciada inicialmente, descrevendo suas estratégias, emitindo opinião a respeito da sua produção e da proposta apresentada, analisando e defendendo seus argumentos para validação da resposta.

Esta proposta não foi única. Ao longo do ano estabelecemos várias oportunidades para resolução de problemas investigativos. Chamamos de dica, os resultados das nossas  reflexões sobre aulas com característica investigativa e que ajudam a organização das estratégias de aula do professor e a otimização de suas ações em sala de aula. É importante evidenciar que todas as dicas que relacionamos, a seguir, não são definidas tão unicamente pelo professor; elas envolvem a tomada de decisão dos alunos, em um processo de ensino e aprendizagem compartilhado por todos.  As dicas:

• promover o envolvimento dos alunos na tarefa, criando um ambiente em que todos se sintam à vontade para apresentar as suas conjecturas, argumentar contra ou a favor às idéias dos outros, sabendo que o seu raciocínio será valorizado;  
• estabelecer a postura esperada, indicando o que é ou não desejável, o que é ou não é permitido aos alunos e a si próprio. Deixar claro os fatores que estão sendo avaliados e como.
• o ambiente investigativo tem uma organização implícita: grupos bem distribuídos; componentes do grupo com funções bem determinadas (coordenador, controlador de tempo, relator, etc.); postura observada pelo professor, adequada ao ambiente de investigação, etc. Para um observador externo aquele ambiente, pode parecer o contrário, pois os alunos circulam, discutem, um deles tira o tênis para servir como instrumento, ou seja, apresenta uma movimentação diferente da convencional.
• prever possíveis respostas  e como explorá-las,  estar atento ao nível de profundidade que se quer e/ou pode dar à discussão, para que não sejam desperdiçadas boas oportunidades de estabelecer aprendizagens. Por exemplo, no caso, foram discutidas respostas muito diferentes, dentre os grupos, algumas geradas por erros com as unidades de medida utilizadas; percepção do espaço (alguns grupos consideraram uma reentrância na sala, implicando cuidados com o cálculo de seu volume; outros estimaram as medidas considerando-a um paralelepípedo).
• estabelecer a linguagem adequada ao grupo, para que a comunicação tenha o nível de clareza desejável;
• avaliar os progressos já realizados e eventuais dificuldades, recolhendo informação e, com base nisso, tomar a decisão de prosseguir, alterar um ou outro aspecto do que está sendo realizado, ou progredir para outra fase do trabalho. Nesse caso, após as três aulas descritas, a professora sentiu necessidade de trabalhar com o grupo potência de 10, tema inicialmente não objetivado, mas que se despontou como uma necessidade dos alunos. 

COLL, César & TEBEROSKY, Ana. Aprendendo Matemática. São Paulo: Ática, 2000.
MACHADO, Nilson José. Medindo Comprimentos. São Paulo: Scipione, 1997.