Conteúdos: trigonometria e polígonos regulares

Competências e habilidades: Leitura e interpretação de diferentes formas de representação; leitura, interpretação e resolução de problemas, formulação de questões a partir de situações reais.

Material: Problema 4.28 do livro "Aplicações da Matemática Escolar" p. 229 e 230

4.28 (Construção)
Uma construtora foi contratada para reparar a caixa d'água municipal. A caixa tem a forma de um cilindro com 12 m de diâmetro. O empreiteiro planeja construir um andaime com a forma de um polígono para ser instalado em volta da caixa e sobre o qual os operários possam permanecer enquanto trabalham. As seguintes condições devem ser observadas na construção do andaime:

1) Deixar um espaço mínimo de 10 cm entre o andaime e a caixa.
2) O espaço entre o andaime e a caixa não deve exceder 45 cm.
3) A largura do andaime deve ser a de 3 tábuas (cada uma de 30 cm de largura).
4) As tábuas usadas no andaime devem sobrepor-se de pelo menos 30 cm em cada extremidade.

1) Seria possível construir um andaime em formato circular em torno da caixa d'água? Por quê?

2) Um andaime formando os lados de um quadrado serviria? Justifique.

3) É conveniente que o andaime tenha a forma de um polígono regular? Por quê?

4) Para trabalharmos com o desenho do andaime e da caixa d'água no papel, qual vista é mais apropriada: superior ou frontal? Utilizando a vista que vocês acharam mais apropriada, façam um esboço da situação, imaginando que o andaime tenha a forma de um hexágono regular.

5) Será realmente possível a construção do andaime desenhado? Tente comprovar usando cálculos.

6) Verifique se um andaime com formato de octógono regular obedeceria os quatro critérios do problema.

7) Se as tábuas que se dispõem têm 4,8 m de comprimento, qual seria a forma desse andaime?

Acompanhe as discussões nos grupos, observe o que estão dizendo, as dificuldades, o envolvimento da turma. Se for necessário, no item 5 do roteiro, dê algumas dicas de como os alunos poderão pensar no problema, ajudando-os a transformar o esboço que fizeram em um esquema com os dados. Veja:

Espera-se que os alunos concluam que não é possível construir o andaime com a forma de um hexágono regular, pois sabemos que:

OM tem, no mínimo 6,1 m, AO = BO e ambos têm, no máximo, 6,45 m. Além disso, O ângulo M mede 90 graus e MÔB tem 30 graus, pois é metade do ângulo central do hexágono regular (360º : 6 = 60º).

Considerando que MO = 6,1 m, teríamos que

o que não pode ocorrer, pois a medida BO deve ser menor ou igual a 6,45 m.

No item 6, espera-se que os alunos sigam o raciocínio utilizado no item 5.

O item 7 solicita que o aluno encontre a forma dos andaime e, portanto, que determine o valor do ângulo central do polígono. Relembre-os de que cada "lado" do andaime é formado por três tábuas de 30 cm de largura e que elas devem sobrepor-se em pelo menos 30 cm em cada extremidade. Peça que acrescentem no esquema com os dados para a resolução deste item as três tábuas na largura, como mostra a solução do livro. Isto ajudará na resolução do problema.

Faça uma discussão final, fazendo uma rodada de respostas por grupo, iniciando cada pergunta por um grupo diferente e solicitando aos outros grupos que acrescentem alguma coisa ou apresentem suas divergências.

Questione-os sobre quais eram os conteúdos matemáticos necessários para resolver o problema, se ele tinha uma única solução, se um sujeito que não possuísse conhecimentos de matemática poderia resolver este problema, se o andaime poderia ser construído sem antes se ter um projeto etc.

Como vimos, o problema possui várias soluções, o que vai definir qual delas vou tomar na vida real são outros fatores que precisam ser consideradas: o preço da tábua de maior comprimento, a facilidade em medir um ângulo de, por exemplo, 16,36 graus etc.

Professor, note que na solução do livro há um erro na última linha que está na página 229. O correto seria: "o comprimento AB não pode exceder 4,2 m",
pois 4,8 - 2 x 0,3 = 4,2.