Ensino Médio
Responde
A mão, nossa primeira calculadora
Organizado por: Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz - Coordenadoras do Mathema
Meus alunos ainda contam nos dedos.
Há algum problema nisso?
Contar nos dedos atrapalha a aprendizagem de Matemática?
  Os dedos foram talvez o primeiro instrumento de contagem e de cálculo utilizado pelo homem. A humanidade inteira provavelmente aprendeu a contar até 5 nos dedos de uma mão. Depois por analogia, talvez mesmo por simetria, passou a prolongar a contagem até 10 usando os dedos da outra mão, até ser capaz de estender indefinidamente a sucessão regular dos números inteiros naturais.

Existem em diversas línguas traços que comprovam essa origem corporal da capacidade de contar. Para alguns povos africanos, ainda hoje os números 5 e 10 são designados por palavras que significam "a mão" e "duas mãos", ou "duas vezes a mão", respectivamente. É comum também que certos números estejam relacionados a dedos específicos. Para alguns povos, por exemplo, o 4 é chamado de topéa, que significa dedo indicador. A própria palavra dígitu, significa dedo.

Assim, seja por sua mobilidade ou eficácia, a mão do homem é, com certeza, o mais antigo e difundido dos acessórios de contagem e de cálculo para os povos através dos tempos, fato comprovado por arqueólogos, historiadores, etnólogos e estudiosos da história da matemática que encontram vestígios de seu uso em todas as regiões do mundo.

As pesquisas permitem inferir que o uso dos dedos levou inclusive ao surgimento do registro decimal, por exemplo. Imagine que você, em tempos bem remotos, estivesse contando animais de um rebanho utilizando os dedos como forma de registro. A cada animal contado você levantaria um dedo. Podemos dizer que estaria sendo feita uma relação de correspondência um-para-um, ou seja, um dedo para cada animal. Continuemos nossa viagem na máquina do tempo e agora suponha que você possuísse muitos animais, tantos que não caberiam todos em suas duas mãos, dessa forma a contagem e o seu registro com os dedos prosseguiriam até que você tivesse todos os dedos levantados.

Certamente surgiria um obstáculo: como prosseguir com a contagem? Uma solução seria abaixar todos os dedos, guardar na memória que já havia utilizado as duas mãos e prosseguir levantando um dedo para cada animal. Mas essa talvez não fosse uma boa solução, pois, a uma certa altura da contagem, você poderia esquecer quantas vezes já teria usado as mãos. Imagine, então, que pedisse a uma segunda pessoa que colaborasse da seguinte maneira: a cada vez que você esgotasse os dez dedos, ela levantaria um dedo. Podemos dizer que existiria aí uma relação de correspondência um-para-dez, ou seja, cada dedo da segunda pessoa corresponderia a dez dedos seus, ou a dez animais já contados. Surgiria, então, uma forma de registro decimal, baseada na relação de correspondência um-para-dez. Essa é provavelmente a origem do sistema de numeração decimal.

Vestígios disso podem ser encontrados na numeração egípcia que para registrar quantidades até 10 utilizava o símbolo I , indicando um dedo e para o 10 utilizava que representava um calcanhar, ou seja, como duas mãos já haviam sido utilizadas, utilizava-se uma outra parte do corpo para a correspondência um-para-dez.

Continuando, a cada vez que você esgotasse as duas mãos, a outra pessoa levantaria um dedo até que esgotasse os dez. Então, você pediria a uma terceira pessoa que levantasse um dedo a cada vez que a segunda pessoa esgotasse as mãos. Haveria assim, uma relação de correspondência de um-para-dez entre os dedos da terceira pessoa e os da segunda pessoa, e uma relação de um-para-cem entre os dedos da terceira pessoa e os seus. Imagine agora que a contagem estivesse no seguinte ponto: a terceira pessoa com três dedos levantados, a segunda com sete dedos levantados e você com oito dedos levantados:
  

Quantos animais estariam registrados? O que ocorreria se mais três animais passassem? Certamente você respondeu que 378 animais estariam registrados e que caso ainda passassem mais três animais os dedos levantados seriam três, oito e um respectivamente representando agora 381 animais.

É visível como o nosso sistema de numeração é similar ao registro que descrevemos por meio dos dedos. Mas sua evolução não foi rápida nem simples. Retratamos apenas uma etapa possível desse desenvolvimento, que envolveu a criação de uma forma de registro posicional, isto é, em que o valor é dado pela posição. Mais tarde, após o surgimento da escrita, os sistemas de numeração evoluíram por meio de muitas tentativas diferentes de representação, até a forma que conhecemos hoje. Mas voltemos a pergunta que deu origem a esse pequeno artigo: se há problemas em as crianças contarem nos dedos.

Como podemos perceber, quando os alunos fazem uso das mãos para contar ou resolver problemas que envolvem cálculos aritméticos, eles estão intuitivamente reproduzindo um gesto que foi importante na evolução das noções numéricas na história da humanidade, e não mostrando uma deficiência em sua aprendizagem dos números. Portanto, não há porque proibir esse tipo de comportamento, nem mesmo considerá-lo um impeditivo da aprendizagem da matemática.

Sem dúvida, assim como aconteceu com a história da matemática, os alunos devem progredir em suas formas de contagem, mas isso ocorre apenas se as atividades que propusermos a eles trouxerem uma exigência nesse sentido. Para que isso ocorra podemos utilizar jogos variados, atividades que exijam estimativas de quantidades maiores que 20 nas quais contar nos dedos seria um recurso inútil e muito trabalhoso, além de problemas os mais diversos.

E se mesmo assim, vez ou outra, os alunos continuarem contando nos dedos? Não há problema. Afinal, quantas vezes nós mesmos não nos valemos desse recurso quando temos que calcular um troco ou fazer alguma conta rapidamente?

Para saber mais sobre como as crianças aprendem números: A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Michel fayol, Ed. Artmed

Sobre a história da evolução dos sistemas de numeração:
História Universal dos algarismos vol 1 e 2. Georges Ifrah, Ed. Nova Fronteira

Os números na história da civilização. Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis, Ed. Scipione

Para conhecer jogos que podem ser usados em aula visite seção jogos nesse site.

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