As pesquisas em educação matemática têm com a resolução de problemas um elo expressivo. Seja devido a sua importância no ensino, seja pelo seu potencial para caracterizar como as pessoas aprendem, o fato é que a resolução de problemas freqüentemente é estudada quando se deseja buscar a compreensão das questões envolvidas no processo de ensino e aprendizagem.

São múltiplos os questionamentos envolvidos no tema aprender, estabelecendo, portanto, diversas formas de olhar para a resolução de problemas. Uma dessas formas é pelo enfoque da interface com a ciência cognitiva, numa perspectiva de entendimento do processo de como o indivíduo pensa.

Um trabalho de particular interesse nessa direção é La resolución de problemas y sus conexiones con otras áreas del conocimiento, de Trigo (1997). Nesse texto, o autor analisa as conexões entre a resolução de problemas em matemática e outras áreas dos estudos da ciência cognitiva, fundamentado em Gardner (1985) e em Schoenfeld (1987), com o objetivo de discutir especificamente as aproximações entre a perspectiva da resolução de problemas e o processo da aprendizagem da matemática.

Tendo como base o estudo de Trigo (1997), o presente texto foi produzido com a perspectiva de socializar as reflexões do grupo Mathema¹, orientadas pelas questões: qual é a relação entre a resolução de problemas e outras áreas que estudam o conhecimento? Quais os princípios sobre resolução de problemas apresentados por Trigo(op. cit.)? Esses princípios têm aproximações com o trabalho desenvolvido pelo Mathema?

A correlação entre a resolução de problemas e as áreas do saber que pesquisam o conhecimento e a forma de aprender, tais como psicologia, filosofia, inteligência artificial, lingüística e antropologia, entre outras, teve no texto de Trigo (op. cit.) um rico referencial para o aprofundamento das discussões. O autor deixa explícitas as conexões, as semelhanças e as diferenças entre os objetos de interesse de cada área e como estas convergem para o estudo da resolução de problemas. As reflexões desenvolvidas neste estudo deixaram claro que não é possível encontrar respostas de como o aluno aprende matemática só com os elementos da própria matemática. Há que considerar também as múltiplas interfaces que podem ser estabelecidas por meio das demais ciências.

No âmbito da ciência cognitiva, foco de particular interesse desse grupo de pesquisadores, foi possível estabelecer a ampla aproximação entre os processos de resolução de problemas e os processos cognitivos, evidenciando-se que a essência de como o aluno resolve problemas, observa e aprende matemática, para além dos elementos matemáticos, tem na ciência cognitiva um explícito referencial.

A matemática e a ciência cognitiva estabelecem parceria de cooperação porque se utilizam das representações. Os elementos essenciais que identificam a cognição (Gardner, 1985, apud Trigo 1997), tais como os símbolos, os esquemas, as imagens, as idéias e outras formas de representação mental, também são aqueles que caracterizam as ciências da matemática e a inteligência artificial (Schoenfeld, 1987, apud Trigo 1997). No que diz respeito a esta última, o interesse tem centrado esforços em simular o comportamento de especialistas e estudantes na resolução de problemas. Ou seja, a inteligência artificial busca desenhar programas que simulem o pensamento humano. O entendimento dos processos de resolução de problemas permite estabelecer como se desenvolvem as habilidades requeridas nesses processos, sinalizando para o delineamento das propostas de ensinar.

Em contrapartida, Trigo (1997) destaca que a educação matemática tem sua importância para as ciência cognitiva, pois nela é estabelecido um vasto terreno de pesquisa. Assim, o olhar para a resolução de problemas pode situar importantes referências para o estudo de como as pessoas se envolvem com o problema, que relações estabelecem, como organizam suas estratégias, como desenvolvem suas análise, enfim, como pensam.

As aproximações entre a área cognitiva e a matemática levou Trigo (op. cit.) a considerar a importância da resolução de problemas no ambiente educacional. Tema que teve especial interesse no estudo realizado. Além de o autor historiar a evolução do significado de resolução de problemas e como os problemas são caracterizados, ele deixa claro que ainda hoje não existe um consenso sobre o que é considerado um problema e o que se compreende por resolver problema, tanto no âmbito escolar quanto na área de pesquisa em educação matemática.

Trigo (op. cit.) registra seu posicionamento sobre essas questões polêmicas. Como ponto de partida, a resolução de problemas pode ser adotada para facilitar ou mesmo promover a aprendizagem da matemática. O autor evidencia, no entanto, que a via de aprendizagem pela resolução de problemas não é aquela que comumente é desenvolvida, tal como a apresentação de problemas a solucionar apenas no final de uma unidade de estudo ou como uma seleção de aplicações após a apresentação de conteúdos.

A resolução de problemas proposta por Trigo (op. cit.) é considerada também para iniciar os estudos de determinado conteúdo, tendo a conotação de metodologia de ensino da matemática. Além disso, o autor se refere ao direcionamento do aluno para a resolução de problemas em um movimento que abre espaço para que os estudantes façam conjecturas, usem exemplos e contra-exemplos e utilizem diversos métodos de resolução. Evidencia, também, a inclusão de problemas com características variadas, inclusive aqueles que são rotineiros.

Diniz (2001) refere-se a esses problemas rotineiros como problemas convencionais, caracterizados pela estrutura que apresentam e pelo tratamento dado a eles, geralmente como simples fixação de técnicas ou regras. Tais problemas comumente carecem de um contexto significativo para o aluno e aparecem logo após a apresentação do conteúdo que será utilizado na resolução. Como características básicas de problemas convencionais (Diniz, op. cit.) ou rotineiros (Trigo, 1997), os textos são curtos, apresentam todos os dados de que o resolvedor necessita, requerem aplicações diretas de procedimentos matemáticos etc. Para Diniz (2001), o ponto fundamental desse tipo de problema é ter uma resposta correta, e, geralmente, ela é numérica e única.

Kilpratick (apud Trigo 1997) aponta três direções para a resolução de problemas. A primeira como veículo para atingir metas curriculares; a segunda como uma habilidade, e a terceira como uma simulação da atividade matemática. Esta última é identificada por Schoenfeld (1987, apud Trigo 1997) como o desenvolvimento de um microcosmo matemático, na sala de aula. Esse direcionamento é apontado por Trigo (1997) como uma ferramenta importante no ensino da matemática.

Segundo Schoenfeld (1987, apud Trigo 1997), a principal meta da aprendizagem da matemática é identificar as conexões e entender o significado das estruturas matemáticas. Para alcançarem essas metas, os estudantes têm que discutir suas idéias, negociar seus pontos de vista, especular sobre os possíveis resultados e usar diversos exemplos e contra-exemplos que ajudem a confirmar ou ajustar as suas idéias.

A aprendizagem matemática pelos alunos ocorre quando interpretam e internalizam os princípios associados à disciplina e reconhecem que, ao encontrar a solução de um problema matemático, este se torna o ponto inicial para encontrar outras soluções, extensões e generalizações de problemas. Além disso, o desenvolvimento da matemática no processo de formular e redimensionar problemas se identifica como um componente essencial para os matemáticos.

Desenvolver e produzir matemática, literalmente, vai além de fazer cálculos e deduções. Aprender matemática é um processo ativo que requer formular conjecturas e provas, observar padrões e estimar resultados, apelando, portanto, à cognição. Esse processo pode guiar os estudantes no desenvolvimento de novas idéias matemáticas. Formular perguntas cotidianamente, buscar respostas e justificá-las são atividades que se podem praticar desde o ensino elementar. Sua prática produz resultados matemáticos novos, além de ser um processo que ajuda os estudantes a explorar o que sabem e utilizar seus conhecimentos de forma ativa. Portanto, a metodologia da resolução de problemas mostra-se intimamente ligada à forma como o indivíduo pensa matematicamente.

O movimento ou dinâmica de trabalho exige que o professor atue como mediador nas discussões dos alunos sobre os problemas, assim como intervenha nas idéias apresentadas pelos alunos, ampliando a discussão. Schoenfeld (op. cit.) recomenda que as atividades sejam realizadas em pequenos grupos e justifica sua proposta com o fato de que as discussões em grupos pequenos proporcionam uma oportunidade única de intervenção do professor. Além disso, o ambiente de proximidade provoca discussões sobre os vários caminhos para a resolução do problema, recurso vantajoso em face da situação em que o estudante enfrenta um problema sozinho e fica limitado às suas próprias estratégias.

Para que essa dinâmica de trabalho se estabeleça em sala de aula, Trigo (1997) acrescenta que os estudantes devem propor e formular seus próprios problemas e trabalhar em atividades em que o processo de completar uma tarefa de resolver um problema inclua pesquisa, ou seja, busca de dados além dos apresentados no problema. A aprendizagem torna-se efetiva quando o professor foca as estratégias e o processo que mostra como resolver problemas e, mais que isso, quando a eficiência em resolver um problema é mais importante que a sua resolução.

Apesar das considerações positivas sobre a adoção da resolução de problemas como metodologia de ensino da matemática, Trigo (op. cit.) ressalta que o fato de se criar uma atmosfera de confiança entre os estudantes para resolver problemas não é fato rotineiro. Conduzir o aluno ao enfrentamento das dificuldades de forma positiva, bem como lidar com a diversidade, quando os estudantes selecionam e utilizam seus próprios caminhos na resolução, não são tarefas triviais para o professor. Além disso, exige estar à disposição do aluno, oferecendo-lhe ajuda quando necessário. Por essas e outras razões, a adoção da metodologia de resolução de problemas implica mudanças nas práticas do professor. Para orientar e ampliar as ações docentes, a metodologia de resolução de problemas é indicada para a formação de professores.

Respondendo às questões propostas

O presente texto, conforme foi mostrado anteriormente, se apresenta com a intenção de socializar as discussões de um grupo de pesquisadores em educação matemática a respeito das idéias de Trigo (op. cit.) sobre a resolução de problemas, como metodologia de ensino da matemática e a interface entre esse ensino e as ciência cognitiva. Embora aqui tratado de forma sucinta, é possível pontuar as questões propostas pelo grupo como objetos de reflexão.

No que diz respeito à relação entre a resolução de problemas e outras áreas que estudam o conhecimento, o grupo pode endossar as justificativas para o seu propósito de aprofundar-se nas questões não-matemáticas envolvidas no processo de ensino dessa ciência. De fato, não é possível desprezar as contribuições de todas as áreas que se colocam à disposição da aprendizagem. Numa apologia ao microcosmo da cultura matemática, de Schoenfeld (1987, apud Trigo 1997), diríamos que não é possível deixar de estabelecer parcerias entre as ciências do conhecimento e a matemática, para formar um macrocosmo de saberes que permitam aprofundar a compreensão sobre como as pessoas aprendem. Uma proposta de ensino só faz sentido quando se fundamenta nas questões relacionadas à aprendizagem.

A interface entre o ensino da matemática e a ciência cognitiva, em especial, contribui para o delineamento do pensar matemático e aponta para os aspectos metodológicos que contribuem para o desenvolvimento da educação matemática e o seu progresso. Trigo (1997) evidencia em seu texto que a resolução de problemas favorece uma forma de pensar na qual o estudante desenvolve uma série de estratégias, de ordem matemática, cognitivas e metacognitivas. Visando contribuir com a aprendizagem da matemática, esse autor aponta para uma metodologia de resolução de problemas que delega ao aluno um papel ativo no estudo e no desenvolvimento de idéias, bem como de posturas essenciais para o desenvolvimento de habilidades que o ajudem a questionar os diversos aspectos do problema e as formas de resolução.

De forma sintética, o princípio que norteia a resolução de problemas é a preocupação sobre a aprendizagem do aluno e também sobre o indivíduo como um todo. A utilização do processo metacognitivo e de atividades tem a conotação de didática da heurística (por aproximações), com o objetivo de levar o indivíduo a conscientizar-se da sua forma de pensar, refletindo constantemente sobre as estratégias adotadas por ele a cada fase da resolução proposta. É importante, nessa direção, que o aluno discuta o processo matemático que utiliza na resolução do problema proposto, tome posse de vocabulário específico para que possa pensar matematicamente e reter o conhecimento. Esse mesmo fundamento é alvo das ações tanto do educador em relação à formação dos professores quanto do professor que visa à aprendizagem do aluno.

Como ingredientes desse princípio básico, Trigo (op. cit.) defende a resolução de problemas com características variadas, além daqueles rotineiros. As tarefas e os problemas discutidos devem apresentar um potencial que permita aos estudantes propor conjecturas, usar exemplos e contra-exemplos. Acrescenta, ainda, a necessidade de manter periodicamente problemas novos em sala de aula, de conduzir os alunos à observação das diversas estratégias que utilizam quando enfrentam situações novas e a testar algumas alternativas em oportunidades de verificar as destrezas e as dificuldades no processo de resolver problemas de outros estudantes. São fundamentais o valor, as estratégias, as habilidades e aos processos, pois fornecem aos alunos uma forma flexível e independente de pensar.

Além disso, o autor faz a opção pelo processo de socialização da aprendizagem, pautado em trabalhos em grupo, estratégia fundamental na formação de um ambiente matemático. As discussões grupais permitem que o estudante analise várias alternativas, o que é essencial para o desenvolvimento das idéias matemáticas, e perceba que a resolução de problemas não é uma tarefa solitária.

Finalmente, as aproximações entre Trigo (op. cit.) e o trabalho desenvolvido pelo Mathema estão tanto na forma quanto no conteúdo das ações de formação de professores concebidas pelo grupo, que tem como concepção de ensino a perspectiva metodológica de resolução de problemas com características similares àquelas descritas pelo autor. Porém o Mathema agrega à metodologia de resolução de problemas recursos de comunicação, para favorecer a aprendizagem com a possibilidade de o aluno organizar, explorar e esclarecer o seu pensamento.

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¹ Mathema é uma equipe de pesquisa e assessoria na área de matemática, coordenada pelas professoras doutoras Kátia Cristina Stocco Smole e Maria Ignez de Souza Vieira Diniz.

TRIGO, L. M. S. La resolución de problemas y sus conexiones com otras áreas del conocimiento. In: Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica, , 1997. Capítulo 5

. DINIZ, M. I. Resolução de problemas e comunicação. In: SMOLE, K. S. e DINIZ, M. I. (org.). Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre, Artmed, 2001. Capítulo 4., p. 87–97.

_________ Os problemas convencionais nos livros didáticos. In: SMOLE, K. S. e DINIZ, M. I. (org.). Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre, Artmed, 2001. Capítulo 5, p. 99-101 .